Fraktale - dzieci chaosu

Fraktale można znaleźć wszędzie. Zarówno białka, takie jak hemoglobina, czy enzymy, od których kształtów i budowy zależą nasze procesy życiowe, jak i nawet sam Wszechświat, który w wielkiej skali wygląda jak "piana" z gromad galaktyk, pomiędzy którymi znajdują się olbrzymich rozmiarów, ciągnące się dziesiątkami milionów lat świetlnych. puste przestrzenie – mają fraktalną strukturę. Bez znajomości fraktali nie sposób dziś efektywnie badać zjawisk przyrody.

W poprzednim artykule pisałem o tym, że świat pełen jest chaosu, a to, co wydaje się pięknie uporządkowanym ładem, jest tylko szczególnym przykładem nieporządku. Nawet planety, krążące, zdawałoby się, po stabilnych elipsach, zmieniały niejednokrotnie swe orbity, aby w końcu albo osiągnąć takie, na których mogły krążyć niezmiennie przez miliardy lat – albo opuścić nasz Układ Słoneczny.

rysunek 1  

Zbiór Mandelbrota, czyli „piernikowy ludzik". W celu ukazania podobieństwa do ludzika, został obrócony o 90 stopni. Wygenerowany z pomocą programu Xaos

Tak, jak stabilne rozwiązania równań są wyspami na morzu chaosu, tak znane nam podstawowe figury i bryły geometryczne, takie jak okrąg, kula czy sześcian, są tylko szczególnymi przypadkami wśród nieskończonej liczby fraktali. Być może już je znacie – swego czasu popularny był obrazek kolorowego „piernikowego ludzika" albo liścia paprotki, z dopiskiem, że ten oto listek został „obliczony przez komputer". Ci, którzy mieli okazję być użytkownikami komputerów domowych z lat osiemdziesiątych, pamiętają być może język Logo i dziwne figury „smoków", kreślone przez „żółwia".

Czym one właściwie są?

Pierwszą wskazówką, że mamy do czynienia z fraktalem,jest jego cecha zwana samopodobieństwem. Spójrzcie na kalafior lub brokuł. Da się on podzielić na fragmenty, podobne do całego kalafiora. Te fragmenty można podzielić jeszcze raz – i jeszcze raz. W prawdziwym kalafiorze dojdziemy w końcu do nie dających się podzielić pojedynczych elementów, ale prawdziwy, matematyczny fraktal daje się tak dzielić bez końca.

rysunek 2  

Paprotka Barnsleya. Ten „liść paproci" jest przykładem fraktala wygenerowanego z pomocą systemu IFS

Fraktale można tworzyć, powtarzając w nieskończoność pewną określoną operację na wyjściowej figurze geometrycznej. Weźmy, na przykład, trójkąt. Podzielmy go na cztery części i wyrzućmy środkową. Czynność powtórzmy z każdym z trzech pozostałych mniejszych trójkątów... i tak w nieskończoność, aż otrzymamy fraktal, zwany trójkątem Sierpińskiego.

Wszędzie tam, gdzie mamy do czynienia z równaniami opisującymi chaos, możemy przedstawić je graficznie w postaci fraktala. Wspominałem w poprzednim numerze Adremidy o obliczeniach modelu atmosfery Lorenza. Fraktal, otrzymany na podstawie tych równań, składa się z dwóch połówek, tworzonych w chaotyczny sposób przez ciągłą linię, która owija się kilkakrotnie wokół jednego z dwóch punktów centralnych, aby po kilku zwojach przeskoczyć w dość przypadkowy sposób do owijania drugiego z nich... i tak w nieskończoność.

rysunek 4  

Pierwsze kroki tworzenia trójkąta Sierpińskiego

Fraktal nie musi być płaski. Wywierćmy w każdym z boków sześcianu dziurę o kwadratowym przekroju, pozostawiając dwadzieścia z dwudziestu siedmiu małych sześcianików... i powtarzajmy ten proces w nieskończoność, aż otrzymamy fraktal, zwany gąbką Mengera. Wytnijmy środkową część z odcinka. Z pozostałych dwóch odcinków znów wytnijmy środkową część. Powtarzajmy to w nieskończoność, aż otrzymamy fraktal, zwany zbiorem Cantora. Istnieją i takie fraktale, które nie mieszczą się w trójwymiarowej przestrzeni – ich trójwymiarowe przekroje potrafi modelować opisywany przeze mnie w innym miejscu program POV-Ray.

rysunek 5  

Pięć pierwszych kroków tworzenia gąbki Mengera - model wykonany w programie POV-Ray

Najbardziej chyba znanym fraktalem jest zbiór Mandelbrota – jest to prawdziwa nazwa wspomnianego przeze mnie piernikowego ludzika. Mimo, że opisuje go bardzo proste równanie, jest to jeden z najbardziej złożonych kształtów, znanych człowiekowi. Składa się on z nieskończonej ilości innych fraktali, zwanych zbiorami Julii, a wszystkie one są nieskończenie małe i nieskończenie gęsto upakowane. Powiększając zaś „piernikowego ludzika" w nieskończoność, możemy wciąż i wciąż znajdować wewnątrz niego – jeśli wiemy gdzie – jego mikroskopijne, wierne kopie.

rysunek 6  

Atraktor Lorenza. Rysunek wykonany w programie Fractint

Fraktale nie służą wyłącznie do podziwiania i nie są tylko matematyczną ciekawostką. Fraktal, zwany krzywą Hilberta, przydaje się w praktyce do tworzenia kolorowych wydruków na drukarkach komputerowych. Fraktalem jest też powierzchnia, jaką tworzy woda wpompowywana do złoża ropy, a znajomość jego cech pozwala na udoskonalenie procesu wydobycia. Jednym z najpopularniejszych zastosowań fraktali jest grafika komputerowa, z ich pomocą można bowiem tworzyć zarówno obrazy abstrakcyjne, jak i takie, które naśladują rzeczywistość. Do tworzenia tych ostatnich używane są fraktale, które nie są ściśle samopodobne - ich poszczególne fragmenty nieco się od siebie różnią, tak samo, jak różnią się drzewa, szczyty górskie lub chmury – i dlatego właśnie tego rodzaju obiekty, uzyskane z ich pomocą, są niepowtarzalne i wyglądają autentycznie.

rysunek 7 

Trójwymiarowy przekrój czterowymiarowego zbioru Julii. Przykładowy model z programu POV-Ray

Czym więc owe figury tak naprawdę są i skąd się wzięła ich nazwa? O linii prostej mówimy, że jest jednowymiarowa, płaszczyzna jest dwuwymiarowa, bryła jest trójwymiarowa, znamy też czterowymiarową czasoprzestrzeń. Fraktal – z łaciny fractus – cząstkowy – jest w przeciwieństwie do nich figurą o ułamkowym wymiarze. Gąbka Mengera ma wymiar (w przybliżeniu) 2,726833, trójkąt Sierpińskiego – 1,585, zaś zbiór Cantora – 0,6309. Istnieje kilka ścisłych definicji oraz metod obliczania wymiaru takich figur, ale nie wdając się w matematyczne niuanse, można powiedzieć, że gąbka Mengera, będąca przestrzenną bryłą, nie wypełnia przestrzeni tak dobrze, jak sześcian i dlatego jej wymiar jest mniejszy niż 3. Trójkąt Sierpińskiego jest płaski, ale nie wypełnia w całości płaszczyzny i stąd jego wymiar jest mniejszy niż 2. Ciekawym przypadkiem jest krzywa Hilberta – choć jej wymiar jest całkowity i równy 2 (wypełnia w całości płaszczyznę) – uznajemy ją za fraktal, między innymi dlatego, że jej wymiar jest różny od jednowymiarowego odcinka, z którego powstała.

rysunek 8  

Mały piernikowy ludzik wewnątrz dużego piernikowego ludzika. Jest ich tam nieskończona ilość. Powiększenie około 750000 razy. Wygenerowany w programie Xaos

Idealne fraktale, tak samo zresztą, jak idealne kule czy sześciany, nie istnieją w przyrodzie, ale fraktalopodobne obiekty można znaleźć wszędzie. Zarówno białka, takie jak hemoglobina, czy enzymy, od których kształtów i budowy zależą nasze procesy życiowe, jak i nawet sam Wszechświat, który w wielkiej skali wygląda jak „piana" z gromad galaktyk, pomiędzy którymi znajdują się olbrzymich rozmiarów, ciągnące się dziesiątkami milionów lat świetlnych. puste przestrzenie – mają fraktalną strukturę. Bez znajomości fraktali nie sposób dziś efektywnie badać zjawisk przyrody. Tymczasem, choć przykłady tego rodzaju dziwnych i nie do końca zrozumianych figur geometrycznych pojawiły się w matematyce na początku ubiegłego wieku, pierwsza poważna praca ich dotycząca ukazała się dopiero w latach siedemdziesiątych.

Program Xaos można odnaleźć na stronie domowej projektu:

http://matek.hu/xaos/doku.php

 

Jeśli chcecie zwiedzić na własną rękę piękny, niezwykły świat fraktali – ściągnijcie i zainstalujcie sobie program Xaos. Jest bezpłatny. A dopóki go nie zainstalujecie, możecie przyjrzeć się chmurom na niebie. One też mają fraktalną strukturę.

Artykuł ukazał się w czasopiśmie „Adremida” nr 1 (2) z lutego 2012 roku